Математичні моделі густини надр планет та їх гравітаційних полів

Abstract

Дисертація присвячена розробці методів одночасного опису внутрішньої структури та гравітаційного поля планет. З цією метою побудована методика апроксимації функції розподілу мас всередині еліпсоїдальних тіл за допомогою двох взаємоортогональних систем. Зображення потенціалу в прямокутній системі координат, а також біортогональність систем дає можливість дослідити структуру стоксових постійних. Сукупність гармонічних функцій в еліпсоїді, побудованих на основі властивостей цих систем, дозволяє представляти потенціал рядами за ними, які збігаються рівномірно у всьому просторі і є неперервними. Також приведено інше представлення потенціалу всюди збіжними рядами, коефіцієнти яких можуть бути використані при дослідженні внутрішньої структури планет. Запропонований метод безпосереднього знаходження коефіцієнтів розкладу другого порядку, що визначає відповідний розподіл, який береться за початкову ітерацію в запропонованому наближеному методі побудови модельних розподілів. Цей метод є тотожний методу Мещерякова Г.О., детально дослідженому в роботі. Сформульований новий підхід до використання стоксових постійних, на основі чого отримані межі зміни значення потенціалу в центрі планети та формула для його обчислення. Сформульований метод визначення функції розподілу та її похідних за цими постійних. Знайдені формули для внутрішнього потенціалу деяких розподілів, запропонований метод апроксимації кусково-неперервних розподілів мас, що дало можливість визначити наближено внутрішній потенціал еліпсоїдальної планети, а також значення гравітаційної енергії. Це, в свою чергу, дозволило розробити метод дослідження стану гідростатичної рівноваги небесних тіл, який застосований для еліпсоїдальної Землі з розподілом другого порядку, узгодженого з референцною моделлю PREM. Диссертация посвящена разработке методов одновременного изучения внутренней структуры и гравитационного поля планет (внутреннего и внешнего). С этой целью предложена методика аппроксимации функции распределения масс внутри эллипсоидальных тел с помощью двух взаимно ортогональных систем и изучены свойства таких разложений. Представление внутреннего потенциала в прямоугольной системе координат и биортогональность систем дало возможность исследовать структуру стоксовых постоянных, а также степень влияния на них неоднородности и эллипсоидальной формы планеты. Построена совокупность неортогональных гармонических в эллипсоиде функций, которые изображают потенциал рядами. Для функций одинаковой степени установлены рекуррентные формулы между ними. Для предложенных функций установлены соотношения непосредственного их определения. Такое представление является равномерно сходящимся во всем пространстве и, как следствие, непрерывным. Поэтому оно может быть использовано при построении эквипотенциальных поверхностей (геоида, селеноида, аэроида). Приведен пример построения геоида, учитывающий функцию распределения многочленом второй степени. Для шаровой планеты соответствующее изображение совпадает с рядом по сферических функциях. Также приведено другое представление потенциала всюду сходящимися рядами, члены которого не удовлетворяют условию гармоничности. Соответствующие коэффициенты могут быть использованы при исследовании внутренней структуры планет, а также при решении прямых задач гравиметрии. Кроме этого, рассмотренный метод непосредственного нахождения коэффициентов разложения второго порядка, что определяет соответствующую функцию масс недр планеты, которая берется за начальную итерацию в приближенном методе построения модельных распределений Мещерякова Г.А., который детально исследован и усовершенствован в работе. В частности, все данные (стоксовые постоянные и динамическое сжатие) приведены в планетарной системе координат. С помощью модернизированной методики построена трехмерная модель плотности, учитывающая набор стоксовых постоянных до двадцатой степени включительно, а также учтена радиальная референцная функция распределения масс Земли (модель PREM). Построенные карты изоденс (линий постоянной плотности) подтверждают значительную неоднородность не только по глубине, но и широтно-долготном простирании. Реализован принцип минимального отклонения исходной и искомой модели, которая соответствует стоксовым постоянным без приведения к проблеме моментов. Предложены новые подходы к использованию стоксовых постоянных для построения моделей плотности, в результате чего получены пределы изменения значения в центре планеты и формула для его вычисления. Найденные величины плотности в центре масс хорошо согласуются между собой, а также совпадают с вероятным их значением. Сформулирован метод определения функции распределения и ее производных по этим постоянным. Построены карты на разных глубинах для частных производных по переменным x, y, z. Найдены формулы для внутреннего и внешнего потенциала некоторых распределений. Предложены методы аппроксимации одномерных кусочно-непрерывных распределений масс планет с помощью многочленов Лежандра, установлено оптимальное количество членов суммирования. Это позволило определить приближенно внутренний потенциал эллипсоидальной планеты, а также значение гравитационной энергии. Получены формулы вычисления внутреннего потенциала радиальной скачкообразной функции шаровой планеты. Сделано сравнение двух подходов и показана близость результатов вычисления по них. Для объемных функций распределений масс выведены формулы, определяющие их потенциал и гравитационную энергию Е в эллипсоидальных телах. Условие минимума величины Е позволило разработать метод исследования состояния гидростатического равновесия небесных тел, который применен для эллипсоидальной Земли с распределением плотности земных недр многочленом второй степени, согласованного с референцной моделью PREM. Результаты исследования подтверждают гипотезу о стремлении вещества к всплытию с глубины к поверхности планет, предложенную многими исследователями, например, Г. Моритцом. Таким образом, рассмотренная методика дает реальный механизм исследования состояния вещества внутри планет. The thesis is devoted to developing methods for the simultaneous description of internally structure and gravitational fields of planets. For this it was constructed technique of approximation of the mass distribution inside the ellipsoidal bodies using two mutually orthogonal systems. Presentation of the potential in a rectangular coordinate system and biorthogonality of the system enable to research the structure of Stokes constants. Based on the properties of these systems it is built a set of harmonic functions in ellipsoid, that allows to represent the potential by series, which converge uniformly in all space and are continuous. Also it is given another representation of the potential by everywhere convergent series whose coefficients can be used to research the internal structure of planets. The proposed method of the direct determination of the expansion coefficients of the second order determines the appropriate distribution, which is taken as the initial iteration in the proposed method of construction of model distributions. This method is equivalent to method of prof. Meshcheryakov G., studied in detail in this work. A new approach to the use of Stokes constant is proposed and considering it the limits of variation value of the potential in the center of the planet and the formula for its calculating was obtained. The method for determining the distribution function and its derivatives for these constants was formulated. Formulas for internal potential of some distributions were determined, the method of approximation of piecewise continuous mass distribution was proposed, which made possible to determine approximately internal potential of ellipsoidal planet, as well as the value of the gravitational energy. This makes possible to develop a method of investigation of state of hydrostatic equilibrium of celestial bodies, which is applied to the ellipsoidal Earth with the distribution of the second order, consistent with the model of reference PREM.