Дослідження зміни часового масштабу для обернених Beta-функцій

Abstract

Застосування Ateb-функцій визначається тими сферами, де використовуються звичайні тригонометричні функції. Сучасні досягнення фізики зумовили розвиток тих областей математики, де необхідне використання відносності або змінності часу. У вступі охарактеризовано сучасний стан досліджень у цій області. Коротко описано основні результати науковців, що досліджували звичайні Ateb-функції. Для врахування змінності (стиск або розтяг), як властивості часового параметра на підставі використання q-аналізу побудовано q-аналоги Ateb-синуса (q-Ateb-синус) і Ateb-косинуса (q-Ateb-косинус) способом обернення неповної q-Beta-функції. Зміна параметра q відповідає зміні часового масштабу у проведених дослідженнях. Також введено q-аналоги Ateb-тангенса (q-Ateb-тангенс), Ateb-котангенса (q-Ateb-котангенс), q-аналоги Ateb-секанса (q-Ateb-секанс) і Ateb-косеканс (q-Ateb-косеканс). Доведено теореми, що характеризують основні властивості побудованих функцій. Зокрема, показано, що при прямуванні параметра q до одиниці у границі отримаємо звичайні Ateb-функції. Введеним функціям притаманна періодичність з періодом, що відповідає q-аналогу відповідних періодів звичайних Ateb-функцій. Побудовано подання періоду через q-аналог Гамма-функції. Доведено узагальнену піфагорову тотожність для q-аналогів тригонометричних Ateb-функцій. Розглянуто та доведено властивості парності та непарності q-аналога Ateb-функцій. Побудовано формули для обчислення q-похідних для q-аналога тригонометричних Ateb-функцій. Доведено, що побудовані функції задовольняють q-аналог системи звичайних диференціальних рівнянь. Знайдено проміжки зростання та спадання для усіх розглянутих функцій. Побудовані q-аналоги формул зведення для q-аналога тригонометричних Ateb-функцій. У висновках вказано, що проведені дослідження можуть бути використані у теорії часових рядів та обробці сигналів.

The use of Ateb-functions is determined by those areas where ordinary trigonometric functions are used. Modern advances in physics have led to the development of new mathematical areas that require the relativity or variability of time. The current researches in this field and main results of studies of the ordinary Ateb functions are briefly described. To take into account compression/ slow-down as a property of time parameter, the q-analogs of Ateb-sine (q-Ateb-sine) and Ateb-cosine (q-Ateb-cosine) are constructed by inverting the incomplete q-Beta functions. The change in parameter q corresponds to the time scaling in the studies. q-analogs of Ateb-tangent (q-Ateb-tangent), Ateb-cotangent (q-Ateb-cotangent), Ateb-secant (q-Ateb-secant) and Ateb-cosecant (q-Ateb-cosecant) are introduced. Theorems characterizing the basic properties of the constructed functions are proved. In particular, it is shown that when q→1, taking the limit we obtain ordinary Ateb-functions. The introduced functions are periodic with the period corresponding to q-analogue periods of the ordinary Ateb-functions. The representation of the period using the qanalogue of the Gamma-function is constructed. The generalized Pythagorean identity for the q-analogues of trigonometric Atebfunctions is proved. Also the properties of the parity and oddity of these functions are considered and proved. The intervals of increasing/decreasing for all functions are found. The q-analogues of the identities formulas for the trigonometric Ateb-functions are presented. Formulas for calculating q-derivatives for the q-analogue of trigonometric Ateb-functions are constructed. It is proved that constructed functions satisfy the system of q-derivative differential equations. Results of the presented studies can be used in the time series theory and signal processing.