Modeling of the Earth’s gravitational field using spherical functions

Abstract

Існує багато методів моделювання регіонального гравітаційного поля, в яких використовують сферичні функції Лежандра цілого ступеня, проте дійсного порядку. Проте вони стосуються переважно регіону, який за формою становить сегмент сфери. Крім того, для їх використання потрібно вхідні дані трансформувати на сегмент сфери з центром на північному полюсі. Метою цієї роботи є знаходження системи функцій, яка б мала ортогональні властивості на довільній сферичній трапеції, а також дослідження властивостей такої системи. Методика. Взявши за основу сферичні функції Лежандра на сферичному сегменті, розроблено систему функцій, ортогональну на довільній сферичній трапеції. Такі функції не можна задати в явному вигляді, а також вони не мають рекурентних співвідношень. Результати. Розглянуто приєднані сферичні функції Лежандра на сферичній трапеції, які мають властивість ортогональності у цьому регіоні. Наведено формули для знаходження норми таких функцій. Отримані функції можна використовувати для побудови регіональних моделей гравітаційних полів на довільній сферичній трапеції. Ортогональна властивість досліджуваних функцій забезпечує стійкий розв’язок під час знаходження невідомих коефіцієнтів моделі. Для високоточного моделювання регіонального гравітаційного поля необхідно перегрідувати вхідні дані (виміряні трансформанти геопотенціалу) на певний грід, і після цього можна використати часткову дискретну ортогональність даних функцій по довготі або повну дискретну ортогональність подібно до другого методу Неймана. Це дає змогу суттєво скоротити час обчислень без втрати точності, адже досліджувані функції не мають рекурсивних співвідношень і для їх знаходження необхідно використовувати розклад у гіпергеометричний ряд. Наукова новизна і практична значущість. У цій роботі вперше отримано систему функцій, ортогональну на довільній сферичній трапеції. Її можна використовувати для побудови регіонального гравітаційного поля, регіонального магнітного поля, а також для задач високоточної інтерполяції або апроксимації, наприклад побудови регіональної моделі іоносфери.

There are many methods for modeling a regional gravitational field in which the Legendre spherical functions of integer degree of the real order are used. They relate, however, mainly to the region which form represents a segment of the sphere. In addition, for their use, the input data must be transformed into a sphere segment with its center at the north pole. The aim of this work is to find a system of functions that would have orthogonal properties on an arbitrary spherical trapezium, as well as researching the properties of such a system. Method. Based on the Legendre spherical functions on the spherical segment, an orthogonal system of functions to an arbitrary spherical trapezoid was developed. Such functions can not be explicitly stated, nor do they have recurring relationships. Results. This article examines the associated Legandre spherical functions on the spherical trapezium where the functions are orthogonal and provide the formulas for defining the norms of these functions. The obtained functions can be used to build regional models of the gravitational fields on the arbitrary spherical trapezium. The orthogonality of the functions ensures a sustainable solution when determining the unknown model coefficients. To model the regional gravitational field with high accuracy, it is necessary to grid the input data (define the transformants of the geopotential), and then use the partial discrete orthogonality of these functions in longitudial direction or full discrete orthogonality similar to the second Neumann’s method. This allows significant reduction of computing time without any loss of accuracy, as the functions under study do not have any recursive relations and it is required to use the decomposition into the hypergeometric series to define these functions. The scientific novelty and practical significance. In this paper we first obtained a system of functions that were orthogonally consistent to an arbitrary spherical trapezium. It can be used to construct a regional gravitational field, a regional magnetic field, and also for high-precision interpolation or approximation tasks, for example the construction of a regional ionosphere model.