Elaboration of equipotential surfaces of planets using biorthogonal expansions

Abstract

Purpose. Using known and fixed Earth potential, presented asthe biorthogonal expansion, to culculate the geoid surface, which describes the actual shape of the planet. The external gravitational field is generally described by the series of spherical functions. Since the geoid is determined with the help of such functions, a question arises converning the identity to define the shape, moreover its several points does not belong to the region of convergence. Methodology and results. We consider representation of potential by convergent series everywhere, which makes it possible to find the geoid without specifying the location of points on the surface, although the geoid heights calculation is carried out by various relations. According to the known function of the mass distribution of the Earth, represented by the second degree polynomial, internal and external potential of elliptical planet are defined and the equipotential surfaces are found. Calculated values via these formulas and their degree of coincidence was analyzed. Defined in two ways surfaces do not coincide with each other because the difference in the values of the radius-vector amouts up to ten meters. So, when applying biorthogonal expansions of higher orders in constructing equipotential surfaces based on information about the external gravitational field it is necessary to take into account characteristics of expansion. Originality. Method of determining the shape of the Earth using the biorthogonal expansions of mass distribution function is proposed. This representation is characterized by a convergence for considered series and gives the opportunity to build digital models of the geoid (volumetric or as an isolines map). Practical significance. The results of numerical experiments, described in the article, led to the conclusion about the possibility of determining the equipotential surfaces that adequately describe the physical surface of the planet not only of the second but higher orders using biorthogonal expansions only with additional investigations. Calculation of geoid heights with high accuracy opens the way to observe many regional and local geodynamic phenomena, such as the movement of tectonic plates, and high accuracy leveling using GPS technology can solve a number of geodetic problems. Мета. За відомим фіксованим потенціалом Землі, поданим за допомогою біортогонального розкладу, як одного з варіантів його представлення, знайти поверхню геоїда, яка описує реальну фігуру планети. Зовнішнє гравітаційне поле описується, як правило, рядами за кульовими функціями. Оскільки геоїд визначають з їх використанням, тому виникає питання ідентичності визначення фігури, тим паче, що частина її точок не належить області збіжності. Методика і результати роботи. У роботі розглянуто представлення потенціалу всюди збіжними рядами, що дає можливість знаходити геоїд без уточнення розміщення точок на його поверхні, хоча обчислення висот геоїда здійснюється за різними співвідношеннями. За відомою функцією розподілу мас надр Землі, представленою многочленом другого степеня, визначено внутрішній та зовнішній потенціал еліптичної планети, за яким знайдено еквіпотенціальні поверхні. Проаналізовано обчислені значення за цими формулами та степінь їх співпадання. Визначені двома способами поверхні рівня не співпадають між собою, бо різниця в значеннях радіус-векторів досягає десятків метрів. Тому застосувати біортогональні розклади вищих степенів під час побудови еквіпотенціальних поверхонь на основі інформації про зовнішнє гравітаційне поле необхідно з урахуванням особливостей розкладу. Наукова новизна. Запропонований метод визначення фігури Землі з використанням біортогональних розкладів функції розподілу мас. Таке представлення характеризується збіжністю для розглянутих рядів та дає можливість будувати цифрові моделі геоїда (об’ємні, або у вигляді карт ізоліній). Практична значущість. Результати числових експериментів, наведених у статті, дали змогу зробити висновок про можливість визначення еквіпотенціальних поверхонь, які адекватно описують фізичну поверхню планети, не тільки другого, а і вищих порядків з використанням біортогональних розкладів лише за додаткових досліджень. Обчислення висот геоїда з високою точністю відкриває шлях до дослідження багатьох регіональних та локальних геодинамічних явищ, наприклад, руху тектонічних плит, а високоточне нівелювання за допомогою GPS-технологій дає змогу розв’язувати низку геодезичних задач.