Solving inverse problems of dynamics of non-linear objectswith the use of Volterra series

Abstract

The article deals with the method of resolving inverse problems of dynamics of nonlinear dynamical objects described by the Volterra series. As an example the case of the Volterra series with two members has been considered. The proposed approach is based on the quadrature method. As a result the methods of resolving of Volterra polynominal integral equation of the first kind and second degree based on the left rectangle method and trapezoidal method were developed. Based on the offered approach, the software for restoration of signals of nonlinear dynamical objects was developed in the Matlab environment. The effectiveness of the means has been investigated in the course of the series of computing experiments including the possibility of their application while noise is superimposed on the input signal. Computational errors significantly depend on the type of the input signal, in particular for smooth signals the errors vary from 1 % to 5 % and with 10 % of superimposednoise – to 15 %. Thus, the results of computing experiments have shown that the proposed method can be effectively used in the restoration of input signals of nonlinear dynamical systems described by the integro-power Volterra series with two members. Розглянуто метод розв’язування обернених задач динаміки нелінійних динамічних об’єктів, які описуються рядами Вольтерри. Як приклад розглянуто випадок ряду Вольтерри з двома членами. Запропонований підхід ґрунтується на квадратурному методі. У результаті розроблено методи розв’язування поліноміальних інтегральних рівнянь Вольтерри І роду 2-го степеня на основі методу лівих прямокутників та методу трапецій. На основі запропонованого підходу розроблено програмні засобив середовищі Matlab для відновлення сигналів нелінійних динамічних об’єктів. Ефективність засобів досліджено на ряді обчислювальних експериментів, зокрема досліджувалась можливість їх застосування в разі накладання шуму на Розглянуто метод розв’язування обернених задач динаміки нелінійних динамічних об’єктів, які описуються рядами Вольтерри. Як приклад розглянуто випадок ряду Вольтерри з двома членами. Запропонований підхід ґрунтується на квадратурному методі. У результаті розроблено методи розв’язування поліноміальних інтегральних рівнянь Вольтерри І роду 2-го степеня на основі методу лівих прямокутників та методу трапецій. На основі запропонованого підходу розроблено програмні засобив середовищі Matlab для відновлення сигналів нелінійних динамічних об’єктів. Ефективність засобів досліджено на ряді обчислювальних експериментів, зокрема досліджувалась можливість їх застосування в разі накладання шуму на вхідний сигнал. Похибки обчислень значною мірою залежать від типу вхідного сигналу, зокрема для гладких сигналів похибки коливаються від 1 % до 5 %, а із накладанням 10% шуму– до 15 %. Отже, результати обчислювальних експериментів показали, що запропонований метод можна ефективно використовувати для відновлення вхідних сигналів нелінійних динамічних систем, які описуються інтегростепеневим рядом Вольтерри із двома членами.