Метод допоміжної параметричної чутливості для аналізу і синтезу нелінійних систем

Abstract

Не дивлячись на теоретичну завершеність існуючі методи аналізу параметричної чутливості застосовні лише до найпростіших задач. Застосування їх до складних задач унеможливлюється із-за потреби диференціювати рівняння стану за вектором невідомих. Щоб уникнути цього диференціювання в дисертації розроблено теорію допоміжної параметричної чутливості, яка ґрунтується на заміні рівнянь узагальнених швидкостей рівняннями узагальнених імпульсів. Диференціальні рівняння останніх не підлягають розв’язанню, а відіграють допоміжну роль у процесі виведення рівнянь чутливості в предметній області дослідження. Матриця параметричних чутливостей знаходиться у вигляді добутку матриці коефіцієнтів диференціальних рівнянь стану, записаних у нормальній формі Коші, на матрицю допоміжних параметричних чутливостей. Аби записати диференціальні рівняння стану досліджуваних виконавчих об’єктів у потрібній нормальній формі Коші, довелося відмовитися від традиційної теорії електричних кіл на користь теорії електромагнетних кіл. У роботі задіяні як відомі, так і розроблені нові математичні моделі для дослідження спеціальних станів. Виконано значний обсяг комп’ютерних симуляцій перехідних і усталених станів параметричних чутливостей, результати яких представлено графічно. Несмотря на теоретическую завершенность существующие методы анализа параметрической чувствительности применимы только к простейшим задачам. К сложным задачам они неприменимы из-за необходимости дифференцировать уравнения состояния по вектору неизвестных. Чтобы избежать этого дифференцирования в диссертации разработана теория вспомогательной параметрической чувствительности, основанная на замене уравнений обобщенных скоростей уравнениями обобщенных импульсов. Дифференциальные уравнения последних не подлежат решению, а играют вспомогательную роль в процессе вывода уравнений чувствительности в предметной области исследования. Матрица параметрических чувствительностей находится в виде произведения матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений состояния, записанных в нормальной форме Коши, на матрицу вспомогательных параметрических чувствительностей. Чтобы записать дифференциальные уравнения состояния исследуемых исполнительных объектов в нужной нормальной форме Коши, пришлось отказаться от традиционной теории электрических цепей в пользу теории електромагнитных цепей. В работе задействованы как известные, так и разработанные новые математические модели для исследования специальных состояний. Выполнен большой объем компьютерных симуляций переходных и установившихся состояний параметрических чувствительностей, результаты которых представлены графически. Despite the theoretical completeness, existing methods of analysis of parametric sensitivity are applicable only to simple problems. Their application to complicated tasks is impossible due to the need to differentiate equation of state by vector of unknowns. To avoid this differentiation in dissertation the theory of auxiliary parametric sensitivity have been developed, which is based on the replacement equations of generalized velocity by equations of generalized pulses. Differential equations of the last model can’t be solved, they perform a supporting role in the output equations of sensitivity in the subject field of research. Matrix of parametric sensitivities is found as the multiplication of the coefficients matrix of differential state equations, which are written in normal Cauchy’s form, to the matrix of auxiliary parametric sensitivity. To write differential state equation of investigated actuating devices in the needed Cauchy’s normal form, we must abandon the traditional theory of electrical circuits for theory of electromagnetic circuits. In this work the known and developed new mathematical models for analysis of special states have been involved. For solving this problem, it is necessary, at first, to construct a mathematical model of the actuating device. This model is based on construction of monodromy matrix, and simulation of transient and steady-state process, and investigation steadystate parametric sensitivity at the same time. To show the real possibilities of the proposed method of constructing a mathematical model of parametric sensitivity of non-linear systems was chosen actuating electromechanical device, in which there are: – non-linearity, which caused by movement and saturation magnetic circuit; – physical processes of different nature are interacting; – coefficients of the differential equations are depending of time; – there are available variables with different frequencies in the steady-state. This actuating device is asynchronous electric motor. Based on the theory of nonlinear differential equations were investigated parametric sensitivity of three-phase induction motor, three-phase asynchronous motor with single-phase power supply, three-phase capacitor asynchronous motor. Differential equations parametric sensitivity are linear, it eliminates the need to construct a Newton’s iteration. As a result, was obtained the final solution in one iteration. In this dissertation a large number of computer simulations of transient and steady-state parametric sensitivities were executed, the results of which are presented graphically.