Про метод найменших квадратів, адаптований до закону похибок Пірсона-Джеффріса

Abstract

Класичний метод найменших квадратів (МНК) К. Ф. Гаусс створив, спираючись на гіпотезу нормальності похибок спостережень. Проте ця гіпотеза, як правило, стає неспроможною, якщо кількість багатократних вимірів n>500. У цьому випадку похибки описуються симетричним, трипараметричним розподілом Пірсона-Джеффріса, який, як і закон Гаусса, має діагональну інформаційну матрицю, і як показали численні дослідження, може бути названим універсальним законом розподілу похибок великих обсягів. Метою цього дослідження є розроблення еволюційних процедур МНК, адаптованого до закону похибок Пірсона-Джеффріса. Методика вирішення цієї проблеми ґрунтується на аналітичній теорії адаптованих до похибок спостережень вагових функцій, яку ми розробили. Основним результатом роботи є те, що ця теорія перетворює робастне оцінювання із евристичних спроб у справжню науку. Наукова новизна дослідження: вперше показано значення аналізу залишкових похибок з точки зору фішерівської теорії оцінок, що дає змогу окреслити зони сингулярності вагової функції під час застосування МНК. Практична значущість: розроблено метод діагностики результатів застосування МНК на основі аналізу статистичних кумулянт залишкових похибок і створено обґрунтовані еволюційні процедури для отримання ефективних МНК-оцінок, які фактично не змінюють класичних алгоритмів обробки даних. Введение. Классический метод наименьших квадратов (МНК) К. Ф. Гаусс создал, опираясь на гипотезу нормальности погрешностей наблюдений. Однако эта гипотеза, как правило, становится несостоятельной, если число многократных измерений n > 500. В этом случае погрешности описываются симметричным, трехпараметрическим распределением Пирсона-Джеффриса, который, как и закон Гаусса, имеет диагональную информационную матрицу, и как показали многочисленные исследования, может быть назван универсальным законом распределения погрешностей больших объемов. Целью данного исследования является разработка эволюционных процедур МНК, адаптированного к закону погрешностей Пирсона- Джеффриса. Методика решения этой проблемы основывается на аналитической теории весовой функции, адаптированной к результатам наблюдений, которая нами разработана. Основным результатом работы является то, что эта теория превращает робастное оценивание из эвристических попыток в действительную науку. Научная новизна исследования: впервые показано значение анализа остаточных погрешностей с точки зрения фишеровской теории оценок, что позволяет выявить зоны сингулярности весовой функции при применении МНК. Практическая значимость: разработан метод диагностики результатов применения МНК на основе анализа статистических кумулянт остаточных погрешностей и созданы обоснованные эволюционные процедуры для получения эффективных МНК-оценок, которые практически не изменяют классических алгоритмов обработки данных. Introduction. K.F. Gausse creates the classical least-square method (LSM) based on the hypothesis of normality of the observation errors. However this hypothesis, as a rule, is uncapable, if the number of the numerous instrumentation is n>500. In this case the errors are described with the Pearson-Jeffreys symmetrical threeparametrical distribution, which as the Gausse law has the diagonal information matrix and one can name it as the universal distribution law of overall size errors in accordance with numerous research. The aim of this investigation is elaboration of evolutionary procedures of the modern update LSM adapted to the Pearson-Jeffreys law of errors. Methods of solving this problem is based on the analytic theory adapted to errors of observation weighting function that we have developed. The basic result of the work is that this theory transforms robust estimation from heuristic attempts into true science. The scientific novelty of this investigation: the meaning of the residual errors analysis was shown firstly from the Fisher’s theory of estimation point of view and it allows to outline the weight functions zones of singularity when LSM using. Practical importance: the diagnostic technique of the results of LSM usage on the basis of analysis of statistical semi-invariant of residual errors was elaborated and well-grounded evolutional procedures for receiving of effective LSM estimations which do not change practically the data handling classical algorithms were created.