Елементи великого мультиплікативного порядку в розширених скінченних полях на основі модифікованого підходу ГАО

Abstract

Підхід Гао побудови елементів великого порядку в довільних скінченних полях полягає у виборі зручного полінома, який задає розширення початкового простого поля. Цей вибір залежить від одного полінома-параметра. Тому вказаний підхід можна розглядати як використання опису скінченного поля з одним ступенем свободи. У цій роботі досліджено можливість поліпшення нижніх меж для порядків елементів у скінченних полях загального вигляду з використанням двох ступенів свободи. Виконано комп’ютерні обчислення в середовищі Maple, які б показали можливі виграші у цьому разі, та наведено відповідні результати. Елементи великого мультиплікативного порядку використовують у низці криптографічних примітивів (протокол Діффі-Хелмана, криптосистема Ель-Гамаля з відкритим ключем, цифровий підпис Ель-Гамаля).

The Gao approach to construction of high order elements in arbitrary finite fields is to choose a convenient polynomial, which defines an extension of an initial prime field. This choice depends on one polynomial-parameter. That is why the mentioned approach can be considered as using of a finite field description with one degree of freedom. We explore in the paper the possibility of improvement of lower bound on element orders in finite fields of general form with using of two degrees of freedom. We have performed computer calculations in Maple environment, that would show possible winnings in this case, and given the correspondent results. Elements of high multiplicative order are used in a series of cryptographic primitives (Diffie-Hellman protocol, El-Gamal public key cryptosystem, El-Gamal digital signature).