Influence analysis of unstable zeroes and poles on the stability of the feedback systems

Abstract

З огляду на теорію автоматичного керування, не повинно бути різниці в поведінці між об'єктом, який задано набором передатних функцій, що відповідно поєднані між собою, так і реальним об'єктом, що відповідає такій теоретичній структурі зі заданими передавальними функціями. Відповідно до цього, проведено узагальнений аналіз гіпотези Отто Сміта стосовно показників стійкості в системах автоматичного керування з нестійкими нулями та полюсами передавальних функцій другого порядку. У зв'язку з тим, що поведінка більшості технічних об'єктів може бути описана передавальною функцією другого порядку, основний акцент зроблено саме на передатній функції зі знаменником (характеристичним рівнянням) другого порядку з нестійкими нулями і полюсами. У статті для опису використано як апарат передавальних функцій, так і структурні моделі відповідного рівня, що дало змогу зробити їхній опис наочним. Виконано узагальнений опис системи автоматичного керування другого порядку з від'ємним жорстким зворотним зв'язком. Для такої системи сформовано теоретичні критерії стійкості стосовно її параметрів на підставі необхідних і достатніх умов стійкості. На підставі узагальненого опису передавальною функцією другого порядку виконано дослідження систем автоматичного керування з різними варіантами розміщення на комплексній площині нестійких нулів і полюсів передавальної функції розімкнутої системи. Виклад матеріалу супроводжується численними прикладами, для яких розглянуто випадки передавальних функцій як з дійсними полюсами, так і з парою комплексно-спряжених полюсів. Для кожного наведеного в статті прикладу розглянуто випадок як розімкнутої системи, так і замкнутої системи з одиничним зворотним зв'язком. Обидва випадки для кожного прикладу проілюстровано графіками логарифмічних амплітудно-частотних і фазо-частотних характеристик і перехідною функцією. Проведені дослідження в статті проілюстровано графіками логарифмічних амплітудночастотних і фазо-частотних характеристик і перехідних функцій, які для кожного прикладу отримані з використанням математичних застосунків MATLAB (разом з бібліотекою Control System Toolbox) і Mathcad. За результатами проведених досліджень підтверджено висновки О. Сміта про відмінність у поведінці реальних фізичних систем з нестійкими нулями і полюсами та теоретично отриманими моделями з аналогічними передавальними функціями.

According to the theory of automatic control, there should be no behavior's difference between an object given by a set of transfer functions, which are respectively interconnected, and a real object, corresponding to such a theoretical structure with given transfer functions. Accordingly, a generalized analysis of the Otto Smith hypothesis regarding the stability indices in automatic control systems with unstable zeros and poles of second-order transfer functions is carried out. Due to the fact that the behavior of most technical objects can be described by a second-order transfer function, the main accent is placed on the second-order transfer function with a denominator with unstable zeros and poles. In the article, both the apparatus of transfer functions and the structural models of the appropriate level were used for the description, which made it possible to make their description evident. A generalized description of a second order automatic control system with negative feedback is made. For such a system, theoretical stability criteria have been formed with respect to its parameters on the basis of necessary and sufficient conditions of stability. On the basis of the common description of the second-order transfer function, the study of automatic control systems with different variants of placement on the complex plane of unstable zeros and poles of the open system's transfer function was performed. The presentation of the material is accompanied by numerous examples, for which cases of transfer functions with both real poles and a pair of complex conjugated poles are considered. The case of both open system and feedback system is considered for each example given in the article. Both cases are illustrated in each example by bode plots and a step response. The researches carried out in the article are illustrated by bode plots and step responses, which for each example are obtained using mathematical applications MATLAB (with the library Control System Toolbox) and Mathcad. According to the results of our research, O. Smith's conclusions about the difference in the behavior of real physical systems with unstable zeros and poles and theoretically obtained models with similar transfer functions are confirmed.