Математичне моделювання частотних зондувань електромагнітним полем у локально-неоднорідному півпросторі

Abstract

З метою адекватнішого опису реальних процесів, що характеризують поширення в земній корі гармонічного електромагнітного поля (ЕМП), збудженого штучними джерелами, розглянуто, на відміну від класичних моделей півпростору (однорідного та кусково-однорідного), локально-неоднорідне середовище (його електрофізичні характеристики залежать від координат лише в межах локальної області). Врахування залежності від координат електропровідності, магнітної та діелектричної проникності приводить до лінійних крайових задач математичної фізики зі змінними коефіцієнтами, для розв’язування яких переважно поєднують аналітичні та обчислювальні методи. Методика. Для знаходження розв’язків таких задач розроблено числово-аналітичний підхід, який ґрунтується на поєднанні методу інтегральних рівнянь (враховуючи його переваги щодо однорідних безмежних середовищ) з виділенням оператора, що характеризує вплив локальної області неоднорідності, подальшою дискретизацією цієї області, знаходженням невідомих компонент ЕМП у вузлах сітки після їх інтерполяції в межах елементів дискретизації. Результати. Розглянуто півпростір, що містить локальну область з довільною криволінійною межею, електрофізичні характеристики якого є неперервними функціями від координат. Для знаходження компонент вектора напруженості електричного поля (ЕП) побудовано математичну модель задачі, складену з системи рівнянь Гельмгольца з правою частиною, що описує вплив локальної неоднорідності і містить невідомі компоненти вектора напруженості ЕП та нульових крайових умов на вільній поверхні півпростору. Використовуючи спеціальний фундаментальний розв’язок рівняння Гельмгольца, записано інтегральні зображення (ІЗ) розв’язків вихідних рівнянь задачі з урахуванням крайових умов. Їх використано для побудови системи лінійних алгебраїчних рівнянь, утвореної внаслідок задоволення умов збігу невідомих компонент вектора напруженості ЕП, обчислених за допомогою інтегральних зображень, зі значеннями у вузлах елементів дискретизації локальної області. Після розв’язання вказаної системи за допомогою ІЗ розв’язку та похідних від них за координатами обчислено компоненти векторів напруженості електричного та магнітного полів у довільній точці півпростору. Наукова новизна. Без уведення потенціалів електричного чи магнітного типів обґрунтовано ефективність поєднання методу інтегральних рівнянь з методом зважених нев’язок для побудови числово-аналітичного розв’язку задачі про усталені коливання ЕМП у локально-неоднорідному півпросторі з урахуванням залежності усіх його електрофізичних характеристик від трьох декартових координат. Практична значущість. Побудовані дискретно-континуальні моделі, що враховують окремий та взаємний вплив залежності від координат електропровідності, магнітної та діелектричної проникності на поширення ЕМП, дають змогу вивчати процеси виникнення кондуктивних зарядів, зумовленої поляризації та магнітної поляризованості (намагніченості). С целью более адекватного описания реальных процессов, характеризирующих распрост ранение в земной коре гармонического электромагнитного поля (ЭМП), возбужденного искусственными источниками, рассмотрено, в отличие от классических моделей полупространства (однородного и кусочно-однородного), локально-неоднородную среду (ее электрофизические характеристики зависят от координат только в локальной области). Учет зависимости от координат электропроводности, магнитной и диэлектрической проницаемости приводит к линейным краевым задачам математической физики с переменными коэффициентами, для решения которых преимущественно совместно используют аналитические и вычислительные методы. Методика. Для нахождения решений таких задач разработан численно-аналитический подход, базирующийся на комбинированном использовании метода интегральных уравнений (учитывая его преимущества в однородных неограниченных средах) с выделением оператора, который характеризирует влияние локальной области геометрической неоднородности, дальнейшей дискретизацией этой области, нахождением неизвестных компонент ЭМП в узлах сетки после их интерполяции в элементах дискретизации. Результаты. Рассмотрено полупространство, содержащее локальную область с произвольной криволинейной границей, электрофизические характеристики которого описаны непрерывными функциями координат. Для нахождения компонент вектора напряженности электрического поля (ЭП) построена математическая модель задачи, которая составлена из системы уравнений Гельмгольца с правой частью, описывающей влияние локальной неоднородности и содержащей неизвестные компоненты вектора напряженности ЭП, и нулевых граничных условий на свободной поверхности полупространства. С использованием специального фундаментального решения уравнения Гельмгольца, записаны интегральные изображения (ИИ) решений исходных уравнений задачи с учетом граничных условий. Они использованы для построения системы линейных алгебраических уравнений, полученной вследствие удовлетворения условий совпадения неизвестных компонент вектора напряженности ЭП, вычисленных с помощью интегральных изображений, со значениями в узлах элементов дискретизации локальной области. После решения указанной системы с помощью ИИ решения и производных от них по координатам вычислены компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей в произвольной точке полупространства. Научная новизна. Не вводя потенциалов электрического или магнитного типов обосновано эффективность совместного использования метода интегральных уравнений с методом взвешенных невязок для построения численно-аналитического решения задачи об установившихся колебаниях ЭМП в локально-неоднородном полупространстве с учетом зависимости всех его электрофизических характеристик от троих декартовых координат. Практическая значимость. Построенные дискретно-континуальные модели, учитывающие отдельное и взаимное влияние зависимости от координат электропроводности, магнитной и диэлектрической проницаемости на распространение ЭМП позволят изучать процессы возникновения кондуктивных зарядов, вызванной поляризации и магнитной поляризуемости (намагниченности). In order to adequately describe real processes that characterize the spread in the crust harmonic electromagnetic field (EMF) excited by artificial sources , unlike classical models (homogeneous and piecewise homogeneous half-space), a locally inhomogeneous half-space (its electrical characteristics depend on coordinate only within the local area) is considered. Taking into account depending on the coordinates of conductivity, permeability and permittivity (so-called geometric heterogeneity) we get linear boundary problems of mathematical physics with variable coefficients, which mainly solved by a combination of analytical and computational methods. Methodology. To find solutions to these problems the numerically-analytical approach based on the combination of integral equations method (IEM) with extraction of the operator that describes the influence of the local area geometric heterogeneity is constructed. Taking into account the advantages of the IEM in a homogeneous infinite medium, we make discretization only in the local area and find the unknown EMF components in the grid nodes after their interpolation in the element of discretization. Results. A halfspace containing the local area with an arbitrary curved boundary is considered. Its electrical characteristics are continuous functions of the coordinates. To find the component of the electric field (EF) mathematical model of the problem, composed of the Helmholtz equations system and zero boundary conditions on the free surface of the half-space, is built. The right side of the system describes the effect of local heterogeneity and contains unknown EF strength vector components. Using special fundamental solution of the Helmholtz equation that automatically satisfies the boundary condition, integral representations (IR) of solutions of equations initial problem conditions are written. They are used for constructing a system of linear equations formed as a result of satisfaction coincidence unknown EF strength vector components calculated using the integral representations with the values in the grid nodes of the local area. After solving this system using IR of solution and their derivatives of the coordinates the vector components of the electric and magnetic fields at an arbitrary point of a half-space are calculated. Originality. Without the introduction of electric or magnetic potentials the numerically-analytical solution of the problem of established oscillations of EMF in a locally homogeneous halfspace is constructed. Dependencies on three Cartesian coordinates all its electrical characteristics are included. The effectiveness of a combination of methods of integral equations and weighted residuals for solving this problem is justified. Practical significance. Built discrete-continual models take into account the impact separate and mutual dependence on the coordinates conductivity, permeability and permittivity on the EMF distribution. This allows you to explore the effect of conductive charges, induced polarization and magnetic polarization (magnetization) in the process.