Побудова матриці нормальних рівнянь для моделювання локального гравітаційного поля

Abstract

Розглянуто методику побудови локального гравітаційного поля за допомогою неортогональних базових функцій, які є розв’язком рівняння Лапласа на ,,шапці˝ або сегменті сфери. Цей підхід передбачає використання приєднаних функцій Лежандра цілого степеня і дійсного порядку. Ці функції формують дві системи функцій. У кожній із цих систем вони є ортогональними між собою на ,,шапці˝ сфери. Тому для використання обох систем функцій традиційно використовують спосіб найменших квадратів. Проте для високих порядків досить складно знаходити власні числа цих функцій. У таких випадках можна спроектувати вихідні дані на півсферу і використати приєднані функції Лежандра цілого степеня і порядку. Властивості таких функцій аналогічні до властивостей функцій на ,,шапці˝ сфери. Традиційно вихідні дані для побудови гравітаційного поля розміщаються на рівномірній сітці. Існує багато видів рівномірних сіток, які дають змогу пришвидшити процес знаходження невідомих гармонічних коефіцієнтів. З-поміж цих рівномірних сіток можна виділити географічну рівномірну сітку, рівномірну сітку Гаусса тощо. Отже, введено рівномірну сітку для розміщення вихідних даних і визначено її основні властивості на сегменті сфери та півсфері. З використанням відповідних властивостей рівномірної сітки отримано методику обчислення матриці нормальних рівнянь, яка дає можливість значно скоротити час обчислень. Також отримано формули для знаходження невідомих коефіцієнтів, які дають змогу перейти від обертання матриць порядку α² до порядку α. Отже, запропонований алгоритм для побудови матриці нормальних рівнянь і визначення гармонічних коефіцієнтів локального гравітаційного поля приводить до значного зменшення часу обчислень без втрати точності. Рассмотрена методика построения локального гравитационного поля с помощью неортогональных базовых функций, которые являются решением уравнения Лапласа на ,,шапке˝ или сегменте сферы. Этот подход предполагает использование присоединенных функций Лежандра целого степеня и действительного порядка. Данные функции составляют две системы функций. В каждой из этих систем они являются ортогональными между собой на ,,шапке˝ сферы. Поэтому для использования обеих систем функций традиционно используют способ наименьших квадратов. Однако для высоких порядков достаточно сложно находить собственные числа данных функций. В таких случаях можно спроектировать исходные данные на полусферу и использовать присоединенные функции Лежандра целого степеня и порядка. Свойства таких функций аналогичны свойствам функций на ,,шапке˝ сферы. Традиционно исходные данные для построения гравитационного поля размещаются на равномерной сетке. Существует много видов равномерных сеток, которые позволяют ускорить процесс нахождения неизвестных гармонических коэффициентов. Среди этих равномерных сеток можно выделить географическую равномерную сетку, равномерную сетку Гаусса и другие. Таким образом введено равномерную сетку для размещения исходных данных и определены ее основные свойства на сегменте сферы и полусфере. С использованием соответствующих свойств равномерной сетки получена методика вычисления матрицы нормальных уравнений, которая позволяет значительно сократить время вычислений. Также получены формулы для нахождения неизвестных коэффициентов, которые позволяют перейти от вращения матриц порядка α² к порядку α. Таким образом предложенный алгоритм для построения матрицы нормальных уравнений и определения гармонических коэффициентов локального гравитационного поля приводит к значительному уменьшению времени вычислений без потери точности. We consider the method of constructing the local gravity field using nonorthogonal basic functions, which are solution of the Laplace equation in spherical cap or spherical segment. This approach involves using of associated Legendre functions of integer degree and noninteger order. These functions form two sets of functions. They are mutually orthogonal over the spherical cap in each set. Thus, for using both of these sets of functions it is traditionally used least squares method. However, for higher orders it is quite difficult to compute eigenvalues of these functions. In such case it is possible to project the initial data on the hemisphere and to use associated Legendre functions of integer degree and integer order. The properties of these functions are similar to properties of functions on the spherical cap. Traditionally, initial data is selected in the nodes of grid, especially for fast computations. There are many kinds of uniform grids, which allow to speed up the process of computation the unknown harmonic coefficients. Among these grids it is possible to allocate the geographical grid, Gauss grid and others. Thus, grid is developed to accommodate the initial data and is defined its basic properties in the segment of sphere and hemisphere . Using the properties of grid technique for computing the matrix of normal equations is obtained, which leads to a time reducing procedure. Also formulas for computations of unknown coefficients are obtained which allow to switch from the inversion of matrix with order α² to matrix with order α. . The proposed algorithm for the constructing of the normal equations matrix and determination of harmonic coefficients of the local gravitational field leads to a time reducing procedure without degradation of accuracy.