Фрактальні сплайни в задачах багатомасштабного аналізу і синтезу часових рядів

Abstract

Робота присвячена розробці моделі фрактальних сплайнів для розпізнавання, відтворення і прогнозування багатомасштабних часових рядів та їх образів в інтелектуальних системах обробки даних. Визначено властивості лінійних та кубічних фрактальних сплайнів. Отримано фрактальні сплайни, що повністю повторюють графіки класичних фрактальних функцій (Больцано, Вейєрштрасса, Такагі тощо). Розроблено метод побудови кардинальних і некардинальних фрактальних сплайнів залежно від сітки вузлів, періодичності базису та коефіцієнтів подібності на фрагментах. Узагальнено методи сплайн-інтерполяції та сплайн-апроксимації для випадку фрактальних сплайнів, які відбуваються на декількох масштабах, що дозволило за малої кількості параметрів та їх лінійній залежності отримувати фрактальні криві складної форми. Вдосконалено метод оптимізації сплайн-функцій, що дозволило покращити якість апроксимації. Розроблено алгоритми розпізнавання та відтворення фрактальних образів, які мають більшу точність та обчислювальну перевагу порівняно зі звичайними сплайнами. Розроблено алгоритм прогнозування багатомасштабних часових рядів за допомогою фрактальних сплайнів, який має меншу похибку, ніж звичайний сплайн та авторегресійні моделі подібної складності у довгостроковому прогнозі. Запропоновано спосіб оцінки фрактальної розмірності ряду на основі відносної похибки наближення між фрактальними сплайнами різних масштабів. Розроблено програмне забезпечення для побудови фрактальних сплайнів та їх використання для аналізу і синтезу багатомасштабних часових рядів у середовищі Matlab. Работа посвящена разработке модели фрактальных сплайнов и их применению к распознаванию, восстановлению и прогнозированию многомасштабных временных рядов и их образов с интеллектуальных системах обработки данных. Предложен рекуррентный и нерекуррентный способы построения фрактального сплайна. Исследованы свойства базисных фрактальных сплайнов, получены производные для кубического фрактального сплайна. Изучены свойства линейного и кубического фрактальных сплайнов. Доказано, что фрактальный сплайн с бесконечным количеством масштабов не имеет производной ни в одной точке, а его размерность Хаусдорфа-Безиковича является дробным числом больше единицы. Получены фрактальные сплайны, совпадающие с графиками классических фрактальных функций (Больцано, Вейерштрасса, Такаги), что служит доказательством универсальности модели. Предложена классификация фрактальных сплайнов на кардинальные и некардинальные в зависимости от размещения узлов на сетке, периодичности базиса, коэффициентов подобия на фрагментах, количества используемых базисов. Разработан алгоритм интерполяции фрактальными сплайнами, который является развитием классического метода сплайн-интерполяции и позволяет восстанавливать негладкие самоподобные функции. Предложена оптимизация графического выведения результатов с использованием технологии «ленивых вычислений». Модифицирован алгоритм оценивания параметров сплайна по МНК для использования на множестве масштабов, что позволило при малом количестве параметров и их линейной зависимости распознавать фрактальные кривые сложной формы. Установлено, что качество аппроксимации в значительной мере зависит от количества узлов сплайна и их взаимного размещения на сетке. Для улучшения точности был предложен алгоритм оптимизации фрактального сплайна, который позволил существенно уменьшить погрешность приближения. Усовершенствован метод прогнозирования многомасштабных временных рядов, который имеет меньшую погрешность по сравнению с обычными сплайнами и среди авторегрессионных моделей подобной сложности для долгосрочного прогноза. Модифицирован метод оценки фрактальной размерности на основе отрезков, который базируется на оценке относительной погрешности между фрактальными сплайнами разных масштабов и шириной фрагментов. Полученные оценки размерностей для монофракталов при количестве точек ряда N≥1500 в среднем не превышают погрешность в 5%. Результаты экспериментальных исследований на тестовых и реальных данных подтвердили правильность научных выкладок и предложенных моделей, показали удовлетворительную точность и быстродействие разработанных алгоритмов. Разработано программное обеспечение для решения задач синтеза и анализа многомасштабных временных рядов в среде Matlab, в частности: прогнозирование визитов пациентов в лечебные учреждения, восстановление ряда валютного курса, интерполяция ряда колебаний температуры воздуха, генерирования фрактальных сигналов разных видов, оценки фрактальной размерности временных рядов. This thesis is dedicated to the development of fractal spline model and its application to the recognition, reproduction and prediction of multiscale time series in the intelligent data processing systems. The properties of linear and cubic fractal spline are considered. Synthesized fractal splines that match the graphs of some fractal functions (Bolzano, Weierstrass, Takagi etc.). The methods of constructing of cardinal and non-cardinal (non-periodic, with non-uniformly distributed knots, self-affine, multifractal) fractal splines are elaborated. There are generalized methods for spline interpolation and spline approximation for a class of fractal splines that occur at multiple scales and allow for a small number of parameters and their linear dependence obtaining complex fractal curves. Improved method for optimization of spline functions that allows a better approximation. Developed algorithms for the recognition and reproduction of multiscale time series that have greater accuracy and computational advantage compared with classical splines. Modified forecasting method for multiscale time series using fractal splines that has smaller error than usual splines and autoregressive models of similar complexity in a long-term period. Proposed a method for fractal dimension estimation based on relative approximation error between fractal splines of different scales. The software is developed for constructing fractal splines and their use for analysis and synthesis of multiscale time series in Matlab.