Теорія та швидкодіючі апаратно-програмні засоби ітераційних методів обчислення функцій

Abstract

У дисертації наведено теоретичне узагальнення і нове вирішення важливої наукової проблеми підвищеної швидкодії та точності ітераційних методів обчислення елементарних функцій, що виявляється у вдосконаленні та розвитку методів цифрового диференціального аналізатора, псевдоповороту вектора (CORDIC) та функціональних ітерацій. Вирішення даної проблеми дозволило створити нові алгоритми і структури обчислювачів підвищеної швидкодії та точності. Наведено результати практичної реалізації розроблених алгоритмів обчислення елементарних функцій на мікроконтролерах AVR, процессорах IA32 та програмованих логічних схемах ПЛІС. Показано переваги розроблених алгоритмів у швидкодії, точності обчислень та апаратних затратах. В диссертации приведено теоретическое обобщение и новое решение научной проблемы совершенствования и развития теории итерационных методов вычисления элементарных функций, в частности, методов цифрового дифференциального анализатора, псевдоповорота вектора и функциональных итераций. Решение данной проблемы позволило создать новые структуры вычислителей повышенного быстродействия и точности. Представлено развитие теории метода цифрового дифференциального анализатора (ЦДА), показана целесообразность описания алгоритмов работы ЦДА структур с помощью рекуррентных уравнений. Исследовано методы дискретизации систем линейных дифференциальных уравнений, которые являются порождающими для многих элементарных функций (в частности, тригонометрических и гиперболических). Результаты исследований позволили установить методы численного интегрирования, которые, имея самую простую аппаратную реализацию, обеспечивают вычисление с заданной точностью. Автором также разработан обобщенный метод решения линейных рекуррентных уравнений второго порядка. На основе проведенных теоретических исследований автором предложены цифровые генераторы экспонент простой структуры с использованием лишь одного умножителя. Приведено обоснование и обобщение метода ЦДА с многоразрядными приращениями и переменным шагом интегрирования порождающих дифференциальных уравнений с последующим их представлением в форме рекуррентных уравнений и их соответствующих решений, что позволило значительно повысить быстродействие устройств, построенных на их основе. Показано, что интегрирование разных дифференциальных уравнений явным методом Эйлера с переменным шагом описывает алгоритмы такого широко известного метода как CORDIC. Доказана необходимость использования также и других одношаговых методов численного интегрирования, которые допускают простую аппаратную реализацию и позволяют повысить быстродействие метода. Автором предложен и исследован гибридный метод вычислений на основе просмотровых таблиц на базе постоянных запоминающих устройств, CORDIC и исходных линейных умножений, что позволило существенно повысить быстродействие вычислений. Исследован вопрос повышения точности метода функциональных итераций. Автором предложен способ постоянного смещения результатов вычислений (способ аддитивной коррекции результатов вычислений на каждой итерации), который позволил существенно уменьшить погрешности - от двух до сотен тысяч раз и больше в зависимости от числа итераций. Также предложена схема устройства для деления, построенного на одном умножителе с использованием способа смещения. В работе проведен выбор начальных приближений (постоянных, линейных, квадратичных) для вычисляемых функций. Приведены результаты практической реализации разработанных алгоритмов вычисления элементарных функций на микроконтроллерах AVR, процессорах IA32 и программируемых логических схемах ПЛИС. Показаны преимущества разработанных алгоритмов в быстродействии, точности вычислений и аппаратных затратах. Theoretical generalization and new decision of scientific problem which appears in perfection and development of theory of iteration methods of calculation of elementary functions is resulted in dissertation, in particular, methods of Digital Differential Analyzer, CORDIC and functional iterations. The decision of this problem allowed to create the new structures of processors of enhanceable fast-acting and accuracy. The results of practical realization of the developed algorithms of calculation of elementary functions are resulted on the microcontrollers of AVR, processors of IA32 and Field-Programmable Gate Array FPGA. Advantages of the developed algorithms are rotined in a speed, exactness of calculations and hardware.