Системи розв'язків рівняння Гельмгольца

Abstract

Побудовано систему розв'язків рівняння Гельмгольца у вигляді однорідних поліномів за двома біортогональними системами функцій. Використано систему додатних степенів за першою змінною, біортогональну з системою від'ємніх степенів цієї змінної у комплексній площині, і побудовано дві системи функцій від другої змінної, біортогональних на замкненому контурі в іншій комплексній площині. Функції основної з цих систем задаються у вигляді лінійних комбінацій добутків степеневих та тригонометричних функцій, а друга - у вигляді поліномів за від'ємними степенями змінної. Досліджено властивості біортогональних систем функцій та розвинення функцій в ряди за ними. Розв'язки рівняння Гельмгольца у площині, півплощині та смузі одержано у вигляді сум рядів за системами однорідних поліномів. Построена система решений уравнения Гельмгольца в виде однородных полиномов по двум биортогональнимы системами функций. Использованы систему положительных степеней по первой переменной, биортогональну с системой отрицательных степеней этой переменной в комплексной плоскости, и построены две системы функций от второй переменной, биортогональних на замкнутом контуре в другой комплексной плоскости. Функции основного из этих систем задаются в виде линейных комбинаций произведений степенных и тригонометрических функций, а вторая - в виде полиномов по отрицательными степенями переменной. Исследованы свойства биортогональних систем функций и разложения функций в ряды по ним. Решения уравнения Гельмгольца в плоскости, полуплоскости и полосе получено в виде сумм рядов по системам однородных полиномов. The system of solutions of Helmholtz's equation in the form of homogeneous polynomials by the two biorthogonal systems of functions is constructed. The system of positive powers by the rst variable biorthogonal with the system of negative powers of this variable in the complex plane is used and two systems of functions from the second variable biorthogonal at the closed contour in another complex plane is constructed. The functions of the main of these systems are given in the form of linear combinations of products of the power and trigonometric functions, and the second one is given in the form of polynomials by the negative powers of the variable. Properties of biorthogonal systems of functions and expansion of functions in to series by them are investigated. Solutions of Helmholtz's equations in the plane, a half-plane and a band are received in the form of the sums of series by the systems of homogeneous polynomials.